線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$49$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - λ) (4 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$- 4 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 49$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

ステップ 5.4.2.2

$16$ から $49$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

ステップ 5.4.2.3

$- 8 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$0$ と $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ をたし算します。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

ステップ 5.5.1.2

$(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

ステップ 5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ を展開します。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.2

$3$ に $- 33$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.6

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

ステップ 5.5.3.7

$- 33$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

ステップ 5.5.4

$3 λ^{2}$ と $8 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

ステップ 5.5.5

$- 24 λ$ と $33 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

ステップ 5.5.6

$- 99$ を移動させます。

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

ステップ 5.5.7

$9 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

ステップ 5.5.8

$11 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

ステップ 7.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

ステップ 7.1.2

最大公約数 $- λ + 11$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

ステップ 7.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 7.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = λ$ であり、 $b = 3$ です。

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

ステップ 7.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

ステップ 7.3

$- λ + 11$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- λ + 11$ が $0$ に等しいとします。

$- λ + 11 = 0$

ステップ 7.3.2

$λ$ について $- λ + 11 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$- λ = - 11$

ステップ 7.3.2.2

$- λ = - 11$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1

$- λ = - 11$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.3.1

$- 11$ を $- 1$ で割ります。

$λ = 11$

ステップ 7.4

$λ + 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$λ + 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 3 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$λ = - 3$

ステップ 7.5

$λ - 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$λ - 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 3 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$λ = 3$

ステップ 7.6

最終解は $(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 11, - 3, 3$

線形代数 例

線形代数例